Для решения этого предела, мы можем использовать определение предела функции. Данное определение гласит, что предел функции f(x) при x, стремящемся к a, равен L, если для любого положительного числа ? существует положительное число ? такое, что для всех x, удовлетворяющих условию 0 < |x — a| < ?, выполняется |f(x) — L| < ?.
Теперь применим это определение к пределу функции sin^2(x)/x при x, стремящемся к 0.
Для начала, давайте заменим sin^2(x) на (1 — cos(2x))/2, используя формулу двойного угла для синуса.
Теперь выражение выглядит так: (1 — cos(2x))/(2x).
Чтобы найти предел данной функции при x, стремящемся к 0, мы можем применить метод Лопиталя. Для этого возьмем производную числителя и знаменателя по переменной x.
Для решения этого предела, мы можем использовать определение предела функции. Данное определение гласит, что предел функции f(x) при x, стремящемся к a, равен L, если для любого положительного числа ? существует положительное число ? такое, что для всех x, удовлетворяющих условию 0 < |x — a| < ?, выполняется |f(x) — L| < ?.
Теперь применим это определение к пределу функции sin^2(x)/x при x, стремящемся к 0.
Для начала, давайте заменим sin^2(x) на (1 — cos(2x))/2, используя формулу двойного угла для синуса.
Теперь выражение выглядит так: (1 — cos(2x))/(2x).
Чтобы найти предел данной функции при x, стремящемся к 0, мы можем применить метод Лопиталя. Для этого возьмем производную числителя и знаменателя по переменной x.
Производная числителя: d/dx (1 — cos(2x)) = 2sin(2x).
Производная знаменателя: d/dx (2x) = 2.
Теперь найдем предел отношения производных при x, стремящемся к 0.
lim x->0 (2sin(2x))/2 = lim x->0 sin(2x) = 0.
Таким образом, предел функции sin^2(x)/x при x, стремящемся к 0, равен 0.