Уравнение x^3 = 8 имеет вид x^3 — 8 = 0. Чтобы найти его корни, мы можем использовать метод факторизации разности кубов.
Для начала, разложим разность кубов. Формула разности кубов гласит:
a^3 — b^3 = (a — b)(a^2 + ab + b^2).
В нашем случае, a = x, и b = 2. Поэтому мы можем записать:
x^3 — 8 = (x — 2)(x^2 + 2x + 4).
Теперь у нас есть факторизованное уравнение (x — 2)(x^2 + 2x + 4) = 0.
Чтобы найти корни, мы должны решить два уравнения:
x — 2 = 0.
x^2 + 2x + 4 = 0.
Решим первое уравнение:
x — 2 = 0.
x = 2.
Теперь решим второе уравнение. Мы можем использовать квадратное уравнение или формулу дискриминанта для нахождения корней.
Формула дискриминанта выглядит следующим образом:
D = b^2 — 4ac.
Для квадратного уравнения ax^2 + bx + c = 0, где a = 1, b = 2 и c = 4, мы можем вычислить дискриминант:
D = 2^2 — 4(1)(4) = 4 — 16 = -12.
Поскольку дискриминант отрицательный, у нас нет действительных корней. Мы имеем комплексные корни.
Формула для нахождения комплексных корней выглядит следующим образом:
x = (-b ± ?D) / (2a).
В нашем случае, a = 1, b = 2 и D = -12. Подставим эти значения:
x = (-2 ± ?(-12)) / (2*1).
Теперь мы можем упростить выражение под знаком радикала. Когда дискриминант отрицательный, мы можем использовать мнимую единицу i, чтобы представить ?(-1):
Уравнение x^3 = 8 имеет вид x^3 — 8 = 0. Чтобы найти его корни, мы можем использовать метод факторизации разности кубов.
Для начала, разложим разность кубов. Формула разности кубов гласит:
a^3 — b^3 = (a — b)(a^2 + ab + b^2).
В нашем случае, a = x, и b = 2. Поэтому мы можем записать:
x^3 — 8 = (x — 2)(x^2 + 2x + 4).
Теперь у нас есть факторизованное уравнение (x — 2)(x^2 + 2x + 4) = 0.
Чтобы найти корни, мы должны решить два уравнения:
Решим первое уравнение:
x — 2 = 0.
x = 2.
Теперь решим второе уравнение. Мы можем использовать квадратное уравнение или формулу дискриминанта для нахождения корней.
Формула дискриминанта выглядит следующим образом:
D = b^2 — 4ac.
Для квадратного уравнения ax^2 + bx + c = 0, где a = 1, b = 2 и c = 4, мы можем вычислить дискриминант:
D = 2^2 — 4(1)(4) = 4 — 16 = -12.
Поскольку дискриминант отрицательный, у нас нет действительных корней. Мы имеем комплексные корни.
Формула для нахождения комплексных корней выглядит следующим образом:
x = (-b ± ?D) / (2a).
В нашем случае, a = 1, b = 2 и D = -12. Подставим эти значения:
x = (-2 ± ?(-12)) / (2*1).
Теперь мы можем упростить выражение под знаком радикала. Когда дискриминант отрицательный, мы можем использовать мнимую единицу i, чтобы представить ?(-1):
?(-12) = ?(12 * -1) = ?12 * ?(-1) = 2?3i.
Подставим это значение в выражение для x:
x = (-2 ± 2?3i) / 2.
Раскроем знаменатель:
x = -1 ± ?3i.
Итак, уравнение x^3 = 8 имеет три корня:
x = 2, x = -1 + ?3i и x = -1 — ?3i.