Первообразная от sin2x?

Чтобы найти первообразную от функции sin^2(x), мы будем использовать метод интегрирования по частям и тригонометрические тождества. Давайте начнем:

1. Запишем нашу функцию: sin^2(x).

2. Мы можем использовать тождество тригонометрии, которое гласит: sin^2(x) = (1 — cos(2x))/2. Теперь мы будем интегрировать выражение (1 — cos(2x))/2.

3. Разделим нашу функцию на две части: 1/2 и (1 — cos(2x)).

4. Проинтегрируем первую часть: ?(1/2) dx = (1/2) * x + C1, где C1 — произвольная постоянная.

5. Теперь возьмемся за вторую часть: ?(1 — cos(2x)) dx.

6. Разложим выражение cos(2x) с использованием формулы двойного угла: cos(2x) = cos^2(x) — sin^2(x).

7. Заменим sin^2(x) на (1 — cos(2x))/2: cos(2x) = cos^2(x) — (1 — cos(2x))/2.

8. Упростим выражение: cos(2x) = cos^2(x)/2 + cos(2x)/2 — 1/2.

9. Подставим полученное выражение в интеграл: ?(1 — cos(2x)) dx = ?(cos^2(x)/2 + cos(2x)/2 — 1/2) dx.

10. Разделим интеграл на три части: ?(cos^2(x)/2) dx + ?(cos(2x)/2) dx — ?(1/2) dx.

11. Интегрируем каждую часть по отдельности:

    • ?(cos^2(x)/2) dx: Заметим, что cos^2(x) = (1 + cos(2x))/2. Тогда ?(cos^2(x)/2) dx = (1/2) * ?(1 + cos(2x))/2 dx = (1/4) * x + (1/4) * sin(2x) + C2, где C2 — произвольная постоянная.
    • ?(cos(2x)/2) dx: Заметим, что ?cos(2x) dx = (1/2) * sin(2x). Тогда ?(cos(2x)/2) dx = (1/4) * sin(2x) + C3, где C3 — произвольная постоянная.
    • ?(1/2) dx: Здесь у нас просто константа, которая интегрируется в (1/2) * x + C4