Интеграл от произведения синуса и косинуса, ?sin(x)cos(x)dx, можно найти с помощью метода интегрирования по частям. Предполагается, что вы знакомы с правилами дифференцирования и интегрирования элементарных функций.
Пусть u = sin(x) и dv = cos(x)dx. Тогда мы можем выразить du и v, дифференцируя и интегрируя соответственно:
du = cos(x)dx (дифференцируем u)
v = ?cos(x)dx = sin(x) (интегрируем dv)
Используя формулу интегрирования по частям ?u dv = uv — ?v du, мы можем вычислить интеграл ?sin(x)cos(x)dx:
?sin(x)cos(x)dx = uv — ?v du
= sin(x)sin(x) — ?sin(x)cos(x)dx
Обозначим ?sin(x)cos(x)dx за I. Тогда получим:
I = sin(x)sin(x) — I
Теперь перенесем I на одну сторону уравнения:
2I = sin^2(x)
Делим обе части на 2:
I = 1/2 * sin^2(x)
Таким образом, окончательный ответ на интеграл ?sin(x)cos(x)dx равен 1/2 * sin^2(x) + C, где C — произвольная постоянная интегрирования.
Интеграл от произведения синуса и косинуса, ?sin(x)cos(x)dx, можно найти с помощью метода интегрирования по частям. Предполагается, что вы знакомы с правилами дифференцирования и интегрирования элементарных функций.
Пусть u = sin(x) и dv = cos(x)dx. Тогда мы можем выразить du и v, дифференцируя и интегрируя соответственно:
du = cos(x)dx (дифференцируем u)
v = ?cos(x)dx = sin(x) (интегрируем dv)
Используя формулу интегрирования по частям ?u dv = uv — ?v du, мы можем вычислить интеграл ?sin(x)cos(x)dx:
?sin(x)cos(x)dx = uv — ?v du
= sin(x)sin(x) — ?sin(x)cos(x)dx
Обозначим ?sin(x)cos(x)dx за I. Тогда получим:
I = sin(x)sin(x) — I
Теперь перенесем I на одну сторону уравнения:
2I = sin^2(x)
Делим обе части на 2:
I = 1/2 * sin^2(x)
Таким образом, окончательный ответ на интеграл ?sin(x)cos(x)dx равен 1/2 * sin^2(x) + C, где C — произвольная постоянная интегрирования.