Вычислите интеграл j cos lnx dx x?

Для вычисления данного интеграла воспользуемся методом интегрирования по частям. Формула интегрирования по частям имеет вид:

? u * dv = u * v — ? v * du,

где u и v — функции, а du и dv — их дифференциалы.

В данном случае выберем u = j и dv = cos(lnx)dx. Тогда получаем:

du = 0 (поскольку производная константы равна нулю),

v = ?cos(lnx)dx.

Для вычисления ?cos(lnx)dx введём замену переменной:

lnx = t,

x = e^t,

dx = e^t dt.

Подставим эти значения в выражение для v:

v = ?cos(lnx)dx = ?cos(t) * e^t dt.

Теперь можем вычислить этот интеграл. Заметим, что ?cos(t) * e^t dt представляет собой комбинацию интегралов от произведений экспоненты и тригонометрической функции. Для решения этого типа интегралов мы воспользуемся методом интегрирования по частям ещё раз.

Выберем u = cos(t) и dv = e^t dt. Тогда:

du = -sin(t) dt,

v = ?e^t dt = e^t.

Применяем формулу интегрирования по частям:

?cos(t) * e^t dt = cos(t) * e^t — ?(-sin(t)) * e^t dt.

Упростим полученное выражение:

?cos(t) * e^t dt = cos(t) * e^t + ?sin(t) * e^t dt.

Заметим, что получившийся интеграл повторяет исходный, но с знаком «плюс» вместо «минуса». Таким образом, мы получили систему уравнений:

I = cos(t) * e^t + ?sin(t) * e^t dt,

I = cos(t) * e^t + ?sin(t) * e^t dt.

Обозначим интеграл ?sin(t) * e^t dt как J. Тогда система уравнений принимает вид:

I = cos(t) * e^t + J,

J = sin(t) * e^t + I.

Решим эту систему уравнений относительно I и J.

Вычтем второе уравнение из первого:

I — J = cos(t) * e^t — sin(t) * e^t.

Теперь можно выразить I через J:

I = cos(t) * e^t — sin(t) * e^t + J.

Заметим, что это новое выражение для I повторяет в точности из